Función Exponencial

Albert Einstein: “El mayor problema de la Humanidad es que no entiende la Función Exponencial.”

Es una función matemática del tipo y=e^x donde e es una constante base del Logaritmo natural que vale aproximadamente 2,718281828 …

En las ciencias naturales se llama Función Exponencial a las del tipo a^x generalizando, ka^x .

Las funciones exponenciales aumentan (o decrecen) a Proporción Constante, r.

Una población de bacterias que se duplica cada 20 minutos; la población mundial que crece al 1.14% (unas 75 millones de personas por año); el valor de un coche que se deprecia 10% anual; un virus muy infeccioso como el SARS o la viruela (cada enfermo infecta a varios); un depósito en el banco que aumenta al 5% anual; una substancia radiactiva que se descompone (en este caso la cantidad presente disminuye exponencialmente) : todos ellos y muchos más son ejemplos de funciones exponenciales o procesos que pueden interpretarse como funciones exponenciales.

Comparando una función exponencial (azul) y una función lineal (rojo)

La función exponencial crece muy rápido para valores positivos de x. Si comparamos la función exponencial en azul, con una Función Lineal, en rojo, vemos que la exponencial crece mucho más rápido y deja a la lineal en valores “muy por debajo”: el mismo incremento de dos unidades en x, causa aumento de dos unidades en y para la función lineal en rojo, pero de seis unidades en y para la exponencial en azul.

Tiempo de Duplicación

Una forma rápida de calcular el tiempo de duplicación (de un depósito bancario a interés compuesto, o de una población) en una función exponencial es aplicar la muy antigua Regla del 70, (o del 72, también llamada) que ya descubrió en la Edad Media el monje Luca Pacioli, el sabio que inventó la contabilidad:

70/r

Si tenemos que la población mundial crece al r= 1,14 % anual , dividimos 70/1,14 = 61,40 años.

La población mundial, actualmente, se duplica en algo más de 61 años.

En 1963 el crecimiento de la población mundial era la escalofriante proporción de r = 2,20 % por año. Vemos si había diferencia en el tiempo de duplicación.

70/2,20 = 31,8 años

Aplicación: Tiempo de Duplicación de la Población Uruguaya

Según CIA factbook, Population growth rate: 0.486% (2008 est.)

70 dividido r

70/0,486 = 144 años

Aplicación: Tiempo de Duplicación de la Economía Mundial

La economía mundial crece a razón de 3,7 % anual

70 dividido r

70/3,7= 19 años

Aplicación: Entender noticias de la prensa cuando usan porcentajes

“El M3 (es una medida de la cantidad de dinero circulante) antes que el gobierno de EE.UU. dejara de publicar la cifra, M3 crecía entre el 18 y el 23 % anual.”

Es decir, la cantidad de dinero se duplicaba en unos tres años.

70/18 = 3,9 años

70/23 = 3,0 años

El Poder Destructor de la Función Exponencial.

• Si una población crece al 1% anual el tiempo de duplicación, aplicando la Regla del 70, es de 70 años.

• Si una población crece al 2% anual el tiempo de duplicación es de 35 años.

Si una población crece al 0,486 anual el tiempo de duplicación es de 144 años.

• La cantidad de dinero M3 crece en EE.UU. con un tiempo de duplicación de 3 años.

Es la asombrosa rapidez conque la función exponencial crece, insostenible en el mundo real, lo que causa tan sorprendentes y trágicos problemas en la población, en la economía, en los precios.

Tomemos el caso de ese interés bancario de 5% anual, parece ínfimo. ¿En cuanto tiempo se duplica el capital por Interés Compuesto, si no retiramos intereses y se acumulan al principal?

Aplicamos la rápida Regla del 70: 70/5 = 14 años

¿Y en el caso de una inflación tipo la real Argentina, si conseguimos un banco, financiera o industrial desesperado que nos pague 3 puntitos por arriba del 24 % que sería la inflación real?

70/27 = 2,59 años

Ahora se entiende mejor porqué la inflación causa estos estragos.

Función Exponencial y Precio del Petróleo

Como se observa, en este año el precio del barril de petróleo sube en forma exponencial, esto es económicamente insostenible y las consecuencias serán graves.

En este año de 2008 el precio del barril de petróleo crece en promedio 6%

mensual, una tasa destructiva, aplicamos la Regla del 70

Aplicación: Tiempo de Duplicación del Barril de Petróleo

¿Cuantos meses tarda en duplicarse el precio, si crece al 6 % mensual?

70/6 = 11,66 meses, o sea aproximadamente un año.

Gráfica incremento precio petróleo en los últimos años

Si nos fijamos en el corto intervalo de un año, Enero 2007 – Enero 2008, el precio del barril se duplicó en un año. Eso es un crecimiento exponencial extraordinario.

Límites Biológicos al Crecimiento Exponencial

Las matemáticas son ciencias formales, la naturaleza es otra cosa. Incluso en la Economía gran parte de las cifras son irreales, solamente existen en ordenadores donde se trafican. Pero en el mundo real el crecimiento exponencial rápidamente es detenido por procesos regulatorios. Ver por ejemplo esta gráfica de levaduras creciendo en un medio con zumo de uva [Dieter, 1962].

Tras alcanzar un máximo, el número de levaduras desciende porque empiezan a morir, envenenadas por el mismo alcohol que producen y de hambre porque agotan el azúcar.

Los mamíferos igual que las levaduras. Un ejemplo clásico, los renos que se introdujeron en una isla, donde nunca hubo renos antes. Los líquenes, alimento de los renos, eran abundantes y espesos. En 1944 introdujeron 29 renos. En 1957 había ya 1.350 renos, por su reproducción. En 1963 llegaron a 6.000. El invierno siguiente perecieron, se habían comido todo. Los investigadores hallaron 41 hembras y un macho estéril.

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Decrecimiento Exponencial

Una substancia o proceso está sometido a Decrecimiento Exponencial si disminuye a una tasa proporcional a su valor. Este proceso se puede expresar por una ecuación diferencial donde N es la cantidad inicial y λ es una constante de descomposición

cuya solución es

Ejemplos en las ciencias naturales.

1º. En una substancia radiactiva, el número de átomos que se descompone sigue un decrecimiento exponencial.

2º. La presión atmosférica disminuye exponencialmente, aproximadamente 12% por Km.

3º. La intensidad de la radiación electromagnética (luz, rayos gamma, rayos X) al atravesar un medio disminuye exponencialmente.

Hay otros muchos ejemplos en las ciencias naturales e incluso en las ciencias humanas.

Vida Media

Más útil para el público es entender el concepto de Vida Media (half life) o período de semi-desintegración es decir el tiempo necesario para que la actividad de una substancia radiactiva decaiga a la mitad de la cantidad inicial.

El caso más interesante es en la descomposición de isótopos radiactivos. Por ejemplo, el Estroncio-90 (⁹⁰Sr) tiene una vida media de 28,78 años y es muy peligroso porque tiene las mismas propiedades químicas que el calcio y se acumula en los huesos.

Como se nota en la gráfica, pasarán siete períodos de vida media antes que el Estroncio-90 producido por un proceso nuclear decaiga a menos del 1% del valor original, o sea, más de 200 años.

El Estroncio-90 se formó en la atmósfera durante las pruebas de bombas atómicas y termonucleares (“de Hidrógeno”) en los años 50 y 60. Todos nosotros tenemos Estroncio-90 en los huesos debido a esas pruebas y numerosos casos de cáncer ocurren y ocurrirán anualmente por esta razón.

El Plutonio tiene una vida media de 24.110 años (Pu-239).

En una hipotética central nuclear en Uruguay un accidente tipo Chernobyl contamina con Plutonio una zona de 400 kms de largo por 200 ms de ancho (Chernobyl contaminó miles de kms cuadrados).

¿Cuánto tiempo tardaría la radioactividad en descender a menos del 1% del valor inicial?

Serían siete períodos de semi-desintegración o vidas medias, en años: 24.110 x 7 = 168.770 años. Si tenemos en cuenta que la civilización apareció hace 10.000 años se entiende la magnitud del problema.

Contra Intuitivo.

A señalar que esto va en contra de la intuición simple. El razonamiento simple diría, que si la mitad se desintegra en 24 mil años, la otra mitad que queda debe desintegrarse en otros 24 mil años. Parece logico, en 48 mil años ya no queda radiactividad … Pero no es así, la Naturaleza no es así. Ese Plutonio tardará mucho más de 168 mil años en desaparecer totalmente -de hecho, hasta la desintegración del último átomo de esa muestra, pasarán millones de años.

Por eso dijo Einstein que el mayor problema de la humanidad es que no comprende la Función Exponencial y sus destructoras consecuencias.

PARA SABER MÁS

Referencias en Wikipedia

• Rule of 72

• Crecimiento exponencial

• Crecimiento logístico

• Curva logística

• E mathematical constant

• Elimination half-life

• Exponential decay

• Exponential function

• Exponential growth

• Función logística

• Gompertz curve

• Half-life

• Mean lifetime

• Logistic function

• Malthusian gorwth model

• Modelo exponencial

CITAS

Fra Lucca Paccioli: “A voler sapere ogni quantita a tanto per 100 l’anno, in quanti anni sara tornata doppia tra utile e capitale, tieni per regola 72, a mente, il quale sempre partirai per l’interesse, e quello che ne viene, in tanti anni sara raddoppiato. Esempio: Quando l’interesse e a 6 per 100 l’anno, dico che si parta 72 per 6; ne vien 12, e in 12 anni sara raddoppiato il capitale.”

* Dieter, Georg. (1962). Biologische Strukturen und ihre Vernderungen in Raum und Zeit, dargestellt an der Kinetik von Vermehrung, Sterben und Zytolyse bei Saccharomyces cerevisiae. Dissertation zur Erlangung des Doktorgrades bei der Landwirtschaftlichen Fakultat der Justus Leibig-Universitat. Fotodruck: Mikrokopie G.m.b.H. Monchen 2, Weinstr. 4.

* Klein, David R. (1968). The introduction, increase, and crash of reindeer on St. Matthew Island. Journal of Wildlife Management 32(2), 350-67.